【圆的垂径定理】圆的垂径定理是几何中一个重要的定理，广泛应用于圆的相关计算与证明中。该定理揭示了圆中垂直于弦的直径所具有的性质，是解决与圆相关的对称性问题的重要工具。
一、定理
垂径定理：如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
换句话说，若直线 CD 是圆的直径，且 CD ⊥ AB（AB 是圆的一条弦），则：
- CD 平分 AB，即 AC = CB
- CD 平分 AB 所对的弧，即 弧 AC = 弧 CB
二、定理的关键点归纳
| 关键点 | 内容说明 |
| 直径 | 必须是圆的直径，不能是任意线段 |
| 垂直 | 直径必须垂直于弦 |
| 平分弦 | 直径将弦分成两条相等的部分 |
| 平分弧 | 直径不仅平分弦，还平分弦所对应的两条弧 |
三、应用示例
1. 求弦长
若已知圆的半径为 $ R $，且有一条弦 AB 被直径 CD 垂直平分，设 CD 与 AB 的交点为 E，则可通过勾股定理求出 AB 的长度。
2. 判断对称性
利用垂径定理可以判断某条线是否为直径，或某点是否为圆心。
3. 构造辅助线
在几何作图中，常通过作垂线来找到弦的中点，进而确定圆心。
四、定理的逆定理
垂径定理的逆定理：如果一条直径平分一条弦（不是直径），那么这条直径垂直于这条弦。
这一定理在实际问题中也经常被使用，用于验证某些几何关系。
五、总结
圆的垂径定理是圆几何中的基础内容之一，它揭示了直径与弦之间的特殊关系。掌握这一定理有助于理解圆的对称性和几何结构，是学习圆相关知识的重要基石。
| 定理名称 | 圆的垂径定理 |
| 核心内容 | 直径垂直于弦时，平分弦及所对的弧 |
| 应用范围 | 几何证明、计算、作图 |
| 逆定理 | 平分非直径的弦的直径必垂直于该弦 |
通过理解和运用垂径定理，我们可以更深入地分析和解决与圆相关的几何问题。
